MatrixExp[(({{a, b}, {0, 0}}))] // MatrixForm

MatrixExp[(({{a, b}, {0, 0}}))].MatrixExp[(({{-a, 0}, {0, 0}}))] // MatrixForm

MatrixExp[(({{-a, 0}, {0, 0}}))] .MatrixExp[(({{a, b}, {0, 0}}))]//Simplify // MatrixForm

MatrixExp[(({{0, ((b-b (E^(-a)))/a)}, {0, 0}}))]//Simplify // MatrixForm